복리 완전 정리: 공식, 72의 법칙, 그리고 직접 검산할 수 있는 예제

복리가 실제로 어떻게 작동하는지, 72의 법칙이 왜 맞는지, 복리 주기가 결과를 얼마나 바꾸는지, 그리고 "일찍 시작하라"의 수학 — 어떤 계산기로도 재현할 수 있는 숫자로.

단리는 원금에만 이자를 줍니다. 복리는 원금 과 이미 받은 이자 모두에 이자를 줍니다. 1년이면 차이가 미미합니다. 30년이면 소박한 목돈과 은퇴 자금의 차이입니다.

공식

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A = 최종 금액        r = 연이율(소수)
P = 원금             n = 연간 복리 횟수
t = 연수

예: $10 000을 연 7%로 30년, 연복리(n = 1):

A = 10 000 × 1.07^30 = 10 000 × 7.612 = $76 123

같은 기간 단리라면 10 000 × (1 + 0.07 × 30) = $31 000. 나머지 $45 000은 복리가 만든 것으로, 원금과 단리 이자를 합친 것보다 많습니다.

72의 법칙이 맞는 이유

72의 법칙: 두 배가 되는 연수 ≈ 72 ÷ 연이율(%). 8%면 약 9년, 6%면 12년, 3%면 24년.

유도는 짧습니다. 두 배는 (1 + r)ᵗ = 2이므로 t = ln 2 / ln(1 + r). r이 작으면 ln(1 + r) ≈ r이므로 t ≈ 0.693 / r ≈ 69.3 / (이율 %). 69.3 대신 72를 쓰는 이유는 약수가 많고(2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) 6–10%의 일반적 이율에서 ln(1 + r) ≈ r 근사를 약간 보정해 주기 때문입니다.

거꾸로도 됩니다: 인덱스 펀드가 15년 만에 3배가 됐다면 연환산 수익률은 약 ln 3 / 15 ≈ 7.3%. 적에게도 적용됩니다: 인플레이션 3%면 구매력은 24년마다 반토막, 신용카드 APR 18%면 빚은 4년마다 두 배.

복리 주기: 광고만큼 극적이지 않다

$10 000을 6%로 10년:

연복리에서 일복리로 가면 10년간 약 1.7%가 더해집니다. 이율과 기간은 엄청나게 중요하고, 복리 주기는 반올림 오차 수준입니다. 은행이 "일복리"를 광고하는 건 수학이 아니라 마케팅입니다. 주기가 이미 반영된 APY(실효 연이율)로 비교하세요: APY = (1 + r/n)ⁿ − 1.

정기 적립: 연금의 미래가치

대부분은 목돈이 아니라 매달 투자합니다. 매 기간 말 PMT를 적립할 때의 공식:

FV = PMT × [ ((1 + i)^N − 1) / i ]      i = 기간 이율, N = 기간 수

예: 월 $500을 연 7%(i = 0.07/12 = 0.005833)로 30년(N = 360):

FV = 500 × [ (1.005833^360 − 1) / 0.005833 ]
   = 500 × [ (8.116 − 1) / 0.005833 ]
   = 500 × 1 219.97 ≈ $610 000

총 납입: $180 000. 성장분: $430 000. 최종 잔액의 약 70%는 내가 넣은 돈이 아니라 복리 성장입니다.

"일찍 시작하라"가 동기부여 포스터가 아니라 수학인 이유

두 투자자, 같은 7% 수익률, 같은 월 $500:

A는 1/3만 투자하고도 앞섰습니다. A의 돈은 30년을 더 두 배씩 불어났기 때문입니다(7%에서 약 3번의 더블링: ×8). 공식에서 가장 가치 있는 입력은 t이고, 나중에 돈으로 살 수 없는 유일한 변수입니다.

실제 상품에 공식을 적용할 때 체크리스트

• 순 수익률을 쓸 것: 펀드 보수를 빼세요(ETF 0.03% vs 펀드 1%는 연 0.97% 차이이며 30년이면 최종 잔액이 25% 차이).
• 오늘의 구매력을 원하면 실질 수익률을 쓸 것: (1 + 명목)/(1 + 인플레) − 1.
• 기간을 맞출 것: 월 적립은 월 이율과 월 단위 N이 필요.
• 수익률은 일정하지 않습니다. 공식은 기대 경로를 줄 뿐 보장이 아니며, 인출 단계에서는 순서가 중요합니다.